③ 核心知识讲解
3.1 力在坐标轴上的投影
投影（大白话）：用手电筒从正上方往下照，力在 x 轴上留下的“影子”有多长，就是它在 x 轴上的投影。
从力 F 的起点和终点分别向 x 轴、y 轴作垂线，两垂足之间的线段长度再加上正负号，就是投影 Fx、Fy。
Fx = ± F cos α Fy = ± F sin α （α 为力与 x 轴所夹的锐角）
➕➖ 正负号怎么定？ 看分力的指向：分力指向与坐标轴正方向一致 → 正；相反 → 负。
⚠ 注意：分力 Fx、Fy 是矢量（带箭头）；投影 Fx、Fy 是代数量（只是一个带正负号的数）。在直角坐标系里，二者大小相等。
👉 试一试：① θ = 0° 时，Fx = F、Fy = 0（力与轴平行，投影等于力的大小）；② θ = 90° 时，Fx = 0（力与轴垂直，投影为零）；③ 力转到第二、三象限，看看 Fx 什么时候变负。
3.2 合力投影定理 & 平面汇交力系的合成
平面汇交力系：各力在同一平面内，作用线交于一点（如吊钩上的几根绳子）。
合力投影定理：合力在某轴上的投影 = 各分力在同一轴上投影的代数和（带正负号相加）。
FRx = ΣFx FRy = ΣFy FR = √(FRx² + FRy²) tan α = |FRy / FRx|
🔑 平面汇交力系平衡 ⇔ 合力 FR = 0 ⇔ 力多边形自行封闭（最后一个力的箭头回到第一个力的起点）⇔ ΣFx = 0，ΣFy = 0。
🎬 动画对比：平面汇交力系的合成与平衡（2D vs 3D） 蓝＝已知力 绿＝合力 FR 红＝待求力
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3.3 平面任意力系的简化（本课难点）
平面任意力系：各力在同一平面内，作用线既不全交于一点、也不全平行（车间里绝大多数构件的受力都是这样）。
怎么对付它？用上节课的力的平移定理：把每个力都平移到同一点 O（简化中心），每平移一个力，就附加一个力偶。
🎬 分步动画：把三个“乱七八糟”的力搬到 O 点
任意力系 ──平移到 O──▶ 汇交力系（合成为主矢 F′R）＋ 力偶系（合成为主矩 MO）
🎬 动画对比：平面任意力系向一点简化（2D vs 3D） 蓝＝原力 绿＝平移后的力/主矢 紫＝力偶/主矩
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3.4 平面任意力系的平衡方程
物体平衡 = 不移动也不转动。
不移动 ⇒ 汇交力系的合力 F′R = 0；不转动 ⇒ 力偶系的合力偶矩 MO = 0。两个条件必须同时满足。
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣMO(F) = 0
翻译成大白话：左右的力抵消、上下的力抵消、绕任一点的转动抵消。三个独立方程，最多能解出 3 个未知量（一个物体）。矩心 O 可以任意选——选得巧，计算就简单。
👉 小技巧：先对 A 点列 ΣMA = 0，式子里没有 FA（它过矩心，力臂为零），一步就求出 FB；再用 ΣFy = 0 求 FA。
🎬 动画对比：平面任意力系的平衡方程（2D vs 3D） 蓝＝已知力 红＝待求约束力 紫＝力矩
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3.5 三种特殊情况：方程变少了
| 力系 | 长什么样 | 平衡方程 | 能解几个未知量 |
|---|
| 平面汇交力系 | 各力交于一点（吊钩、绳结、二力杆铰接点） | ΣFx = 0，ΣFy = 0 | 2 个 |
| 平面平行力系 | 各力互相平行（梁上的竖直载荷、车轴受力） | ΣFy = 0，ΣMO(F) = 0
或二力矩式：ΣMA(F) = 0，ΣMB(F) = 0 | 2 个 |
| 平面力偶系 | 只有几个力偶（多轴钻床同时钻孔） | ΣM = 0 | 1 个 |
| 平面任意力系 | 一般情况 | ΣFx = 0，ΣFy = 0，ΣMO(F) = 0 | 3 个 |
图 平行力系 & 力偶系
平行力系二力矩式有个条件：A、B 两点的连线不能与各力平行；一矩式中投影轴不能与各力垂直。
力偶系作用在同一平面内的几个力偶。合成结果是一个合力偶：M = M₁ + M₂ + … + Mn = ΣMi（逆正顺负，代数相加）。平衡时 ΣMi = 0。
记一记力偶在任何轴上的投影都是 0，所以列投影方程时不写力偶；但列力矩方程时要把力偶矩直接加进去（不用乘力臂，也不管矩心在哪）。
🎬 动画对比：三种特殊力系的平衡方程（2D vs 3D） 蓝＝已知力 红＝待求力 紫＝力偶
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3.6 例题精讲
例 1 悬臂吊车梁（平面任意力系）
题目：AB 是吊车梁，BC 是钢索，A 端为铰链支座。电葫芦和重物共重 G = 5 kN，钢索与梁夹角 θ = 25°，l = AB = 2.5 m，电葫芦距 A 点 a = 2 m，梁自重不计。求钢索 BC 的拉力和铰链 A 的约束力。
🔍 拖滑块发现：电葫芦越往 B 端跑，钢索拉力越大；跑到 B 端（a = l）时 FAy = 0，钢索拉力最大 11.83 kN。所以选钢索要按最危险位置计算，再乘安全系数。
例 2 三角支架（结果出现负号怎么办？）
题目：水平梁 AB 用铰链 A 和斜杆 CD 支承，AC = CB = l，斜杆与梁成 45°，B 端挂重物 G = 10 kN，不计自重。求铰链 A 和杆 CD 的受力。
解：(1) 取梁 AB，CD 是二力杆，力 FC 沿 DC 方向（先假设为压力）；A 处画 FAx、FAy。
(2) 列方程（矩心选 A，消去两个未知力）：
ΣMA = 0：FC·sin45°·l − G·2l = 0 ⇒ FC = 28.28 kN
ΣFx = 0：FAx + FCcos45° = 0 ⇒ FAx = −20 kN
ΣFy = 0：FAy + FCsin45° − G = 0 ⇒ FAy = −10 kN
❗ 算出负号不是算错了！它说明实际方向与假设方向相反：A 点实际受力向左 20 kN、向下 10 kN。受力图不用重画，答案里写清“负号表示方向相反”即可。
🎬 例 2 三角支架：算出负号怎么办？（2D vs 3D） 蓝＝已知力 红＝待求约束力
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例 3（教材例 1-6） 减速器齿轮轴：空间受力怎么变成平面问题？
对比要点：3D 看得到齿轮、轴承和箱体；2D 只保留轴线 + 力 + 尺寸，空间问题就变成了平面任意力系。
解：已知 F、a。取齿轮轴为研究对象，受力图见 2D 图。
ΣFx = 0：F − FBx = 0 ⇒ FBx = F
ΣMB(F) = 0：−FAy·3a + F·2a + 2F·a − F·a = 0 ⇒ FAy = F
ΣFy = 0：FAy + FBy − F − 2F = 0 ⇒ FBy = 2F
🔍 注意力矩方程里的 “−F·a”：锥齿轮上的水平轴向力虽然是横着的，但它的作用线在轴线上方 a 处，对 B 点有力臂 a，会产生顺时针力矩——这正是“用力的平移原理建立平衡方程”的关键。
🎬 例 3 减速器齿轮轴：空间受力怎么变成平面问题？（2D vs 3D） 蓝＝已知力 红＝待求约束力
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3.7 功率和效率
功率 P：单位时间内做的功，P = W / t，单位 W（瓦）或 kW。它代表机器“干活的本事”，电动机、机床铭牌上都标有额定功率。
直线运动：P = F · v 回转运动：M = 9550 P / n
F—作用力（N）；v—速度（m/s）；M—转矩（N·m）；P—功率（kW）；n—转速（r/min）
机械效率 η：机器稳定工作时，有用功率 P1 与输入功率 P 之比：η = P1 / P，P = P1 + P2（P2 是摩擦、发热等无用功率）。η 总是小于 1。
⚠ 功率大小和效率高低无关：功率大≠效率高，效率高≠功率大。
🧪 功率计算台
💬 课堂讨论：汽车爬坡用高速挡还是低速挡？带传动为什么放在高速级？
① 发动机功率 P 基本一定，由 F = P / v：速度越低，牵引力越大。所以爬坡要换低速挡，用速度换力气。
② 由 M = 9550P / n：功率一定时，转速越高，转矩越小。带传动靠摩擦力工作，转矩小、带受的拉力就小，不容易打滑，所以把带传动布置在电动机出来的高速级。
例 4（教材例 1-7） 车削外圆：切削力、功率和电动机功率
题目：车刀车削直径 d = 200 mm 的外圆，主轴转速 n = 180 r/min，主轴转矩 M = 250 N·m，传动效率 η = 0.8。求：(1) 切削力和切削速度；(2) 切削功率；(3) 电动机功率。
(1) F = M ÷ (d/2) = 250 ÷ 0.1 = 2500 N；v = (d/2)·(πn/30) = 0.1 × 3.14 × 180 ÷ 30 = 1.884 m/s（π 取 3.14，与教材一致）
(2) P1 = M·n / 9550 = 250 × 180 ÷ 9550 ≈ 4.712 kW（验算：F·v = 2500 × 1.884 ≈ 4.71 kW ✔）
(3) P = P1 / η = 4.712 ÷ 0.8 ≈ 5.890 kW
⚠ d = 200 mm 先换成 0.2 m，半径 d/2 = 0.1 m。
图 车削：工件转、车刀不动，切削力 F 阻碍工件转动